Fiche de révision brevet maths : formules, théorèmes et méthodes

Fiche 1 – Nombres et calculs

• Priorités : parenthèses, puis puissances, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
• Fractions : a/b + c/b = (a + c)/b ; a/b × c/d = (a × c)/(b × d) ; diviser par c/d, c’est multiplier par d/c.
• Puissances : aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ ; aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ ; (aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ ; a⁰ = 1 ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10. Exemple : 45 000 = 4,5 × 10⁴ ; 0,003 = 3 × 10⁻³.
• Nombre premier : a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. Les premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. 1 n’est pas premier.
• Décomposition en facteurs premiers : 360 = 2³ × 3² × 5. Elle sert à simplifier une fraction jusqu’à la rendre irréductible.
• Critères de divisibilité : par 2 (chiffre des unités pair), par 3 (somme des chiffres divisible par 3), par 5 (finit par 0 ou 5), par 9 (somme des chiffres divisible par 9).

Fiche 2 – Calcul littéral et équations

• Distributivité : k(a + b) = ka + kb ; (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
• Identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
• Factoriser : repérer le facteur commun (3x² + 6x = 3x(x + 2)) ou une identité (x² − 25 = (x + 5)(x − 5)).
• Équation du premier degré : on isole x. 3x − 7 = 11 ⇔ 3x = 18 ⇔ x = 6.
• Équation produit nul : A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0. (x − 2)(2x + 6) = 0 donne x = 2 ou x = −3.
• x² = a : deux solutions √a et −√a si a > 0 ; une seule (0) si a = 0 ; aucune si a < 0.
• Prouver qu’une expression est toujours vraie : on développe les deux membres. Un exemple ne prouve rien, un contre-exemple suffit à prouver que c’est faux.

Fiche 3 – Fonctions

• Image et antécédent : si f(3) = 7, 7 est l’image de 3 et 3 est un antécédent de 7. Un nombre a une seule image mais peut avoir plusieurs antécédents.
• Lecture graphique : l’image se lit sur l’axe des ordonnées, l’antécédent sur l’axe des abscisses.
• Fonction linéaire f(x) = ax : droite qui passe par l’origine, modélise la proportionnalité. a = f(x)/x.
• Fonction affine f(x) = ax + b : droite de coefficient directeur a et d’ordonnée à l’origine b. a = (f(x₂) − f(x₁))/(x₂ − x₁).
• a > 0 : fonction croissante ; a < 0 : décroissante ; a = 0 : constante.

Fiche 4 – Proportionnalité, pourcentages, vitesses

• Tableau de proportionnalité : on passe d’une ligne à l’autre en multipliant par le même coefficient ; produit en croix pour la quatrième proportionnelle.
• Prendre t % d’une quantité : multiplier par t/100.
• Augmenter de t % : multiplier par 1 + t/100 (hausse de 20 % : × 1,2). Baisser de t % : multiplier par 1 − t/100 (soldes de 30 % : × 0,7).
• Vitesse : v = d/t, d = v × t, t = d/v. Pour passer de km/h à m/s, on divise par 3,6.
• Ratio : partager 60 dans le ratio 2 : 3, c’est faire 5 parts de 12, soit 24 et 36.

Fiche 5 – Statistiques et probabilités

• Moyenne = somme des valeurs ÷ effectif total ; moyenne pondérée = Σ(valeur × effectif) ÷ effectif total.
• Médiane : valeur qui partage la série rangée en deux groupes de même effectif. Série de 11 valeurs : la 6e ; série de 10 : moyenne de la 5e et de la 6e.
• Étendue = plus grande valeur − plus petite valeur.
• Fréquence = effectif de la valeur ÷ effectif total.
• Probabilité : entre 0 (impossible) et 1 (certain). En cas d’équiprobabilité, p = issues favorables ÷ issues possibles. p(non A) = 1 − p(A).
• Deux épreuves : on utilise un arbre ou un tableau à double entrée ; on multiplie les probabilités le long d’une branche.

Fiche 6 – Géométrie

• Pythagore : « Le triangle ABC est rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore BC² = AB² + AC². » Réciproque pour prouver qu’un triangle est rectangle ; contraposée pour prouver qu’il ne l’est pas.
• Thalès : « Les points A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part sont alignés, et (MN) // (BC), donc d’après le théorème de Thalès AM/AB = AN/AC = MN/BC. » Réciproque : si AM/AB = AN/AC avec les points alignés dans le même ordre, alors (MN) // (BC).
• Trigonométrie dans un triangle rectangle : cos = adjacent/hypoténuse ; sin = opposé/hypoténuse ; tan = opposé/adjacent. Calculatrice en mode degrés.
• Somme des angles d’un triangle : 180°.
• Transformations : symétrie axiale et centrale, translation, rotation conservent longueurs, angles et aires. Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par |k|.
• Agrandissement-réduction de rapport k : longueurs × k, aires × k², volumes × k³.

Fiche 7 – Conversions et algorithmique

• 1 dm³ = 1 L ; 1 m³ = 1 000 L ; 1 cm³ = 1 mL.
• 1 m² = 10 000 cm² ; 1 ha = 10 000 m².
• 1 h = 60 min = 3 600 s ; 1,5 h = 1 h 30 min (et non 1 h 50).
• Scratch : savoir lire une boucle « répéter », une condition « si… alors… sinon », une variable, et prévoir ce que trace le lutin (avancer de, tourner de).