Le programme de spécialité mathématiques de première se révise sur sept fiches : second degré, suites, dérivation, exponentielle, trigonométrie, produit scalaire et probabilités. Le discriminant Δ = b² − 4ac, la formule un = u0 + nr et la règle (ex)’ = ex font partie d’une trentaine de résultats à connaître sans hésiter. Tout le reste se reconstruit à partir d’eux.
Quels chapitres contient le programme de spé maths en première ?
Le programme officiel de l’Éducation nationale découpe l’année en cinq grandes parties : algèbre (second degré, suites), analyse (dérivation, exponentielle, trigonométrie), géométrie (produit scalaire, géométrie repérée), probabilités et statistiques (conditionnement, variables aléatoires), algorithmique et programmation en Python. Les automatismes de calcul (fractions, puissances, développements) ne font pas l’objet d’un chapitre, mais ils coûtent plus de points que n’importe quelle formule oubliée.
Une fiche par chapitre suffit, à condition qu’elle tienne sur une face de bristol. Si votre fiche déborde, c’est que vous recopiez le cours au lieu de le trier. La méthode générale est détaillée dans la page consacrée aux fiches de révision efficaces.
Second degré : quelles formules connaître par cœur ?
Second degré : f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0
- Discriminant : Δ = b² − 4ac.
- Δ > 0 : deux racines x1 = (−b − √Δ) / (2a) et x2 = (−b + √Δ) / (2a). Factorisation : f(x) = a(x − x1)(x − x2).
- Δ = 0 : une racine double x0 = −b / (2a). Factorisation : f(x) = a(x − x0)².
- Δ < 0 : aucune racine réelle, pas de factorisation.
- Forme canonique : f(x) = a(x − α)² + β avec α = −b / (2a) et β = f(α). Le sommet de la parabole est S(α ; β).
- Somme et produit des racines : x1 + x2 = −b / a et x1 × x2 = c / a.
- Signe : f(x) est du signe de a, sauf entre les racines (quand elles existent).
- Variations : si a > 0, décroissante puis croissante (minimum β en α) ; si a < 0, l’inverse.
Le piège classique : chercher Δ alors qu’une racine évidente saute aux yeux. Avec 2x² − 3x + 1, x = 1 annule le trinôme ; le produit des racines vaut c/a = 1/2, donc l’autre racine est 1/2. Deux lignes au lieu de six.
Suites et dérivation en spé maths de première : l’essentiel
Suites arithmétiques et géométriques
| Arithmétique (raison r) | Géométrique (raison q) | |
|---|---|---|
| Récurrence | un+1 = un + r | un+1 = q × un |
| Terme général | un = u0 + nr = up + (n − p)r | un = u0 × qn = up × qn−p |
| Somme de référence | 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2 | 1 + q + … + qn = (1 − qn+1) / (1 − q), si q ≠ 1 |
| Sens de variation | croissante si r > 0, décroissante si r < 0 | si u0 > 0 : croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1 |
Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique : nombre de termes × (premier + dernier) / 2.
Dérivation
- Nombre dérivé : f'(a) = limite quand h tend vers 0 de [f(a + h) − f(a)] / h.
- Tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a).
- Dérivées usuelles : (k)’ = 0 ; (xn)’ = nxn−1 ; (1/x)’ = −1/x² ; (√x)’ = 1 / (2√x) pour x > 0.
- Opérations : (u + v)’ = u’ + v’ ; (ku)’ = ku’ ; (uv)’ = u’v + uv’ ; (1/v)’ = −v’/v² ; (u/v)’ = (u’v − uv’) / v².
- Composée affine : [g(ax + b)]’ = a × g'(ax + b).
- Variations : f’ > 0 sur un intervalle ⇒ f strictement croissante ; f’ < 0 ⇒ strictement décroissante. Un extremum local se lit là où f’ s’annule en changeant de signe.
Exponentielle et trigonométrie : les règles qui tombent partout
Fonction exponentielle
- Unique fonction dérivable sur ℝ telle que f’ = f et f(0) = 1. On note ex, avec e ≈ 2,718.
- ex > 0 pour tout réel x ; la fonction est strictement croissante sur ℝ.
- ea+b = ea × eb ; e−a = 1 / ea ; ea−b = ea / eb ; (ea)n = ena.
- (eax+b)’ = a × eax+b.
- ea = eb ⇔ a = b ; ea < eb ⇔ a < b.
- La suite (ena) est géométrique de raison ea.
Trigonométrie
- Cercle trigonométrique : rayon 1, sens direct = sens inverse des aiguilles d’une montre. π radians = 180°.
- cos²x + sin²x = 1 ; −1 ≤ cos x ≤ 1 ; −1 ≤ sin x ≤ 1.
- cos(−x) = cos x ; sin(−x) = −sin x ; cos(π − x) = −cos x ; sin(π − x) = sin x ; cos(π + x) = −cos x ; sin(π + x) = −sin x.
- cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x.
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
Le tableau des valeurs remarquables ne s’apprend pas par cœur : il se lit sur un cercle dessiné à main levée. Tracez-le dix fois dans la semaine, il ne vous quittera plus.
Produit scalaire et géométrie repérée : les quatre formules à savoir
Produit scalaire
- Avec l’angle : u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v).
- En repère orthonormé : si u(x ; y) et v(x’ ; y’), alors u · v = xx’ + yy’.
- Avec les normes : u · v = ½ (‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²).
- Projection : AB · AC = AB · AH, où H est le projeté orthogonal de C sur (AB).
- Orthogonalité : u et v orthogonaux ⇔ u · v = 0.
- Al-Kashi : BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos Â.
Géométrie repérée
- Droite d’équation ax + by + c = 0 : vecteur directeur (−b ; a), vecteur normal (a ; b).
- Cercle de centre Ω(x0 ; y0) et de rayon r : (x − x0)² + (y − y0)² = r².
- Cercle de diamètre [AB] : ensemble des points M tels que MA · MB = 0.
- Parabole y = ax² + bx + c : axe de symétrie x = −b / (2a).
Probabilités conditionnelles et variables aléatoires : comment ne plus se tromper ?
Probabilités
- Probabilité conditionnelle : PA(B) = P(A ∩ B) / P(A), avec P(A) ≠ 0.
- Intersection : P(A ∩ B) = P(A) × PA(B). Sur un arbre : on multiplie le long d’une branche.
- Probabilités totales : P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B). Sur un arbre : on additionne les chemins qui mènent à B.
- Indépendance : A et B indépendants ⇔ P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
- Espérance : E(X) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn.
- Variance : V(X) = Σ pi(xi − E(X))² = E(X²) − E(X)² ; écart-type σ(X) = √V(X).
- Transformation affine : E(aX + b) = aE(X) + b ; V(aX + b) = a²V(X).
L’erreur qui coûte le plus cher au bac blanc : confondre PA(B) et P(A ∩ B). La première se lit sur une branche secondaire de l’arbre, la seconde est un produit de deux branches. Écrivez systématiquement la notation avant de calculer.
Comment réviser ces fiches de spé maths de première sans tout oublier en terminale ?
La terminale réutilise tout : la dérivation sert au logarithme et à la convexité, les suites deviennent des limites, le produit scalaire passe dans l’espace. Une fiche relue une seule fois en juin est perdue en septembre. Programmez plutôt des relectures espacées.
- Le soir du cours : rédigez la fiche à partir du cours, sans le recopier. Formules d’abord, un exemple ensuite.
- J+1 : cachez la fiche et réécrivez les formules sur un brouillon. Entourez en rouge ce qui manque.
- J+7 : faites trois exercices du chapitre sans regarder la fiche, puis corrigez avec.
- J+30 : passez l’auto-test en bas de page. Une erreur renvoie la fiche dans le paquet de la semaine.
Le principe de ces intervalles est expliqué dans la page sur la répétition espacée et la méthode Leitner, et le planning de révision les calcule pour vous. Quand la terminale arrive, les fiches de spé maths terminale prennent le relais. Pour construire les vôtres, la page comment faire une fiche de révision détaille le format.
Une formule que vous savez redémontrer en deux lignes ne s’oublie plus : Δ, la forme canonique et la somme géométrique méritent ces deux lignes.
Que vaut le discriminant de 3x² − 2x − 1, et combien de racines ?
Δ = (−2)² − 4 × 3 × (−1) = 4 + 12 = 16 > 0 : deux racines, x1 = (2 − 4)/6 = −1/3 et x2 = (2 + 4)/6 = 1.
Une suite géométrique a u0 = 5 et q = 2. Combien vaut u4 ?
u4 = 5 × 2⁴ = 80.
Quelle est la dérivée de f(x) = x × ex ?
Produit uv avec u = x, v = ex : f'(x) = ex + x ex = (1 + x)ex.
Quelle est l’équation de la tangente à y = x² au point d’abscisse 1 ?
f(1) = 1, f'(1) = 2 : y = 2(x − 1) + 1, soit y = 2x − 1.
Combien vaut cos(2π/3) ?
2π/3 = π − π/3, donc cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2.
u(2 ; −1) et v(3 ; 6) sont-ils orthogonaux ?
u · v = 2 × 3 + (−1) × 6 = 0 : oui.
Si P(A) = 0,4 et PA(B) = 0,5, que vaut P(A ∩ B) ?
P(A ∩ B) = 0,4 × 0,5 = 0,2.
Si V(X) = 4, que vaut V(3X + 1) ?
V(3X + 1) = 3² × 4 = 36. La constante 1 ne change pas la variance.
