Sur une fiche de révision, le théorème de Thalès tient en une phrase : si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes en A, les longueurs sont proportionnelles : avec (MN) parallèle à (BC), AM/AB = AN/AC = MN/BC. Il permet de calculer une longueur inconnue par un produit en croix, et sa réciproque prouve que deux droites sont parallèles. Au collège, il est abordé en 4e dans le triangle et complété en 3e avec la configuration papillon.
Que dit le théorème de Thalès ? L’énoncé à copier sur la fiche
Thalès : les trois énoncés
Hypothèses : les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A ; les points A, M, B sont alignés, les points A, N, C sont alignés.
- Théorème : si (MN) et (BC) sont parallèles, alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.
- Réciproque : si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre et si AM/AB = AN/AC, alors (MN) et (BC) sont parallèles.
- Contraposée : si AM/AB ≠ AN/AC, alors (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
Quel énoncé utiliser ? Parallèles connues, longueur cherchée : théorème. Longueurs connues, parallélisme en question : réciproque ou contraposée.
Quelles sont les deux configurations de Thalès ?
| Configuration | Position des points | À quoi elle ressemble |
|---|---|---|
| Triangles emboîtés | M est sur le segment [AB], N sur le segment [AC] | Un petit triangle AMN à l’intérieur du grand triangle ABC, avec un sommet commun A |
| Papillon | A est entre M et B, et entre N et C | Deux triangles opposés par le sommet A, comme les ailes d’un papillon |
Dans les deux cas, l’égalité des rapports s’écrit de la même manière. Ce qui change, c’est la vérification de l’ordre des points dans la réciproque.
Astuce pour ne jamais inverser les rapports : écrivez un tableau à deux lignes avant de calculer.
| Triangle AMN | AM | AN | MN |
|---|---|---|---|
| Triangle ABC | AB | AC | BC |
Chaque colonne associe deux côtés qui se correspondent : ils sont portés par la même droite ou par des droites parallèles.
Comment rédiger un calcul de longueur avec Thalès ?
Rédaction modèle 1 : triangles emboîtés
RéviserFiche de révision pour le brevet blanc : quoi réviser et quandÉnoncé : M ∈ [AB], N ∈ [AC], (MN) // (BC). AM = 3 cm, AB = 5 cm, AC = 7 cm, BC = 6 cm. Calculer AN et MN.
- Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
- D’après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
- Soit 3/5 = AN/7 = MN/6.
- AN = 3 × 7 / 5 = 4,2 cm et MN = 3 × 6 / 5 = 3,6 cm.
Rédaction modèle 2 : papillon
Énoncé : les droites (MB) et (NC) se coupent en A, (MN) // (BC). AM = 2 cm, AB = 5 cm, AN = 3 cm. Calculer AC.
- Les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A, et (MN) // (BC).
- D’après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
- Soit 2/5 = 3/AC.
- AC = 5 × 3 / 2 = 7,5 cm.
Écrivez toujours l’égalité complète des trois rapports, même si vous n’en utilisez que deux. C’est ce que le barème du brevet vérifie en premier.
Comment prouver que deux droites sont parallèles ?
Rédaction modèle 3 : réciproque et contraposée
Énoncé : A, M, B alignés dans cet ordre ; A, N, C alignés dans cet ordre. AM = 4 cm, AB = 10 cm, AN = 6 cm, AC = 15 cm. (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
- On calcule séparément : AM/AB = 4/10 = 0,4 et AN/AC = 6/15 = 0,4.
- Donc AM/AB = AN/AC.
- De plus, les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre.
- D’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) et (BC) sont parallèles.
Avec AN = 5 cm et AC = 12 cm, on aurait AM/AB = 2/5 = 24/60 et AN/AC = 5/12 = 25/60. Les rapports sont différents : d’après la contraposée, les droites ne sont pas parallèles.
Deux rapports qui donnent 0,41 et 0,42 à la calculatrice ne permettent aucune conclusion si vous avez arrondi. Mettez-les au même dénominateur ou faites les produits en croix (4 × 12 = 48 et 10 × 5 = 50).
Thalès, agrandissement et réduction : quel lien ?
Dans une configuration de Thalès, le triangle AMN est une réduction (ou un agrandissement) du triangle ABC. Le rapport commun k = AM/AB est le coefficient.
Agrandissement et réduction de rapport k
- Les longueurs sont multipliées par k.
- Les aires sont multipliées par k².
- Les volumes sont multipliés par k³.
- Les angles ne changent pas.
- k < 1 : réduction ; k > 1 : agrandissement.
Exemple : un cône coupé par un plan parallèle à sa base à mi-hauteur donne un petit cône de rapport k = 1/2 ; son volume est 1/8 du volume du grand.
Comment mesurer une hauteur inaccessible avec Thalès ?
La légende attribue à Thalès de Milet, au VIe siècle avant notre ère, la mesure d’une pyramide d’Égypte grâce à son ombre. Le principe fonctionne toujours : un bâton de 1 m planté verticalement projette une ombre de 1,6 m ; au même moment, l’ombre d’un arbre mesure 12 m. Les rayons du soleil étant parallèles, la hauteur de l’arbre vaut 12 × 1 / 1,6 = 7,5 m.
Carte mentale du passé composé : formation, auxiliaires, accordsAu brevet, les problèmes concrets (toboggan, rampe, pont, ombre) cachent souvent un Thalès et un Pythagore dans la même figure. Révisez les deux ensemble avec la fiche sur le théorème de Pythagore et la fiche de maths du brevet.
Quelles erreurs éviter avec le théorème de Thalès ?
- Mélanger les triangles dans un rapport : chaque rapport doit avoir le petit triangle en haut et le grand en bas (ou l’inverse, mais partout pareil).
- Utiliser MB au lieu de AB : les longueurs se mesurent toujours depuis le point d’intersection A.
- Oublier de citer le parallélisme : sans (MN) // (BC), le théorème ne s’applique pas.
- Oublier l’ordre des points dans la réciproque : sans lui, la conclusion est fausse en configuration papillon.
- Comparer des valeurs arrondies pour conclure au parallélisme.
- Confondre avec Pythagore : Thalès demande des parallèles, Pythagore un angle droit.
Les trois rédactions se fixent en les refaisant de mémoire à intervalles croissants, comme l’explique la page sur la répétition espacée. Les autres chapitres de maths et de sciences sont regroupés dans les fiches de révision du brevet.
Parallèles connues : théorème et produit en croix. Parallèles à prouver : réciproque, rapports exacts, points alignés dans le même ordre.
Quelle condition faut-il pour appliquer le théorème de Thalès ?
Deux droites sécantes en un point A, coupées par deux droites parallèles.
Écrivez l’égalité de Thalès pour M ∈ (AB), N ∈ (AC), (MN) // (BC).
AM/AB = AN/AC = MN/BC.
AM = 4, AB = 6, BC = 9, (MN) // (BC). Calculez MN.
MN = 4 × 9 / 6 = 6.
Que faut-il vérifier en plus de l’égalité des rapports dans la réciproque ?
Que les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre.
AM/AB = 3/7 et AN/AC = 4/9. Les droites sont-elles parallèles ?
3 × 9 = 27 et 7 × 4 = 28 : les rapports diffèrent, donc d’après la contraposée, non.
Une réduction de rapport 1/3 : que deviennent les aires ?
Elles sont multipliées par (1/3)² = 1/9.
Un bâton de 2 m a une ombre de 3 m ; un immeuble a une ombre de 27 m. Sa hauteur ?
27 × 2 / 3 = 18 m.
