Une fraction a/b (avec b non nul) représente le quotient de a par b : 3/4, c’est 3 ÷ 4 = 0,75. Toute la leçon repose sur une seule règle : on ne change pas une fraction en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. Une carte mentale des fractions compte six branches : vocabulaire, fractions égales, comparaison, addition-soustraction, multiplication, division.
Que placer au centre d’une carte mentale sur les fractions ?
Au centre, dessinez une fraction légendée : le nombre du haut, le trait, le nombre du bas. Puis six branches, dans l’ordre où la notion s’enseigne. Les fractions arrivent en CM1 comme partage, deviennent un quotient en 6e, s’additionnent en 5e et se multiplient et se divisent en 4e. La carte d’un élève de 6e peut donc s’arrêter à trois branches et grandir d’année en année.
Branche 1 : vocabulaire
- Numérateur : le nombre du haut, qui indique combien de parts on prend.
- Dénominateur : le nombre du bas, qui indique en combien de parts égales on partage l’unité. Il ne vaut jamais 0.
- Fraction décimale : dénominateur égal à 10, 100, 1 000… 37/100 = 0,37.
- Fraction irréductible : qu’on ne peut plus simplifier (numérateur et dénominateur n’ont plus de diviseur commun autre que 1).
- Inverse : l’inverse de a/b est b/a (a et b non nuls). L’inverse de 2/5 est 5/2.
Comment trouver des fractions égales et simplifier ?
C’est la branche centrale, celle qui sert à toutes les autres. Multiplier en haut et en bas par 3 : 2/5 = 6/15. Diviser en haut et en bas par 4 : 12/16 = 3/4.
- Cherchez un diviseur commun au numérateur et au dénominateur : 2, 3, 5, 9 grâce aux critères de divisibilité.
- Divisez les deux par ce nombre : 18/24 devient 9/12 (division par 2).
- Recommencez tant que c’est possible : 9/12 devient 3/4 (division par 3).
- Allez plus vite en 3e en divisant directement par le PGCD : PGCD(18 ; 24) = 6, donc 18/24 = 3/4 en une étape.
Comment comparer deux fractions ?
| Situation | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Même dénominateur | la plus grande a le plus grand numérateur | 5/7 > 3/7 |
| Même numérateur | la plus grande a le plus petit dénominateur | 3/4 > 3/8 |
| Comparaison à 1 | numérateur plus grand que le dénominateur : fraction plus grande que 1 | 9/8 > 1 > 7/8 |
| Cas général | mettre au même dénominateur, puis comparer les numérateurs | 3/4 = 21/28 et 5/7 = 20/28, donc 3/4 > 5/7 |
Comment additionner et soustraire des fractions ?
On n’additionne jamais les dénominateurs. C’est l’erreur qui revient dans une copie sur deux : 1/2 + 1/3 ne fait pas 2/5.
Branche addition-soustraction
- Même dénominateur : on ajoute les numérateurs, on garde le dénominateur. 2/9 + 5/9 = 7/9.
- Un dénominateur multiple de l’autre (5e) : 1/4 + 3/8 = 2/8 + 3/8 = 5/8.
- Cas général (4e) : dénominateur commun. 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
- Soustraction : même méthode. 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12.
- Avec un entier : écrire l’entier en fraction. 2 + 3/5 = 10/5 + 3/5 = 13/5.
Comment multiplier et diviser des fractions ?
La multiplication est plus simple que l’addition, et la division se ramène à une multiplication.
- Multiplier : numérateur × numérateur, dénominateur × dénominateur. 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10. Simplifiez avant de calculer pour garder de petits nombres.
- Diviser : multiplier par l’inverse du diviseur. 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6.
- Fraction d’une quantité : prendre 2/3 de 60, c’est calculer 60 ÷ 3 × 2 = 40.
- Priorités : multiplications et divisions avant additions et soustractions, comme avec les entiers. 1/2 + 1/2 × 1/3 = 1/2 + 1/6 = 4/6 = 2/3.
Pour additionner, même dénominateur d’abord ; pour multiplier, haut par haut et bas par bas ; pour diviser, on multiplie par l’inverse.
Quels liens faire avec les décimaux et les pourcentages ?
Une dernière branche relie les fractions au reste du programme. 1/2 = 0,5 = 50 % ; 1/4 = 0,25 = 25 % ; 3/4 = 0,75 = 75 % ; 1/5 = 0,2 = 20 % ; 1/10 = 0,1 = 10 %. Certaines fractions n’ont pas d’écriture décimale exacte : 1/3 = 0,333… On l’écrit alors en fraction, et c’est la réponse attendue au brevet quand l’énoncé demande une valeur exacte.
Ces règles valent aussi pour les fractions négatives, avec la règle des signes vue dans la carte mentale des nombres relatifs. En 3e, la fiche de révision de maths pour le brevet reprend fractions, puissances et calcul littéral. La méthode de tracé est détaillée dans comment faire une carte mentale, et l’ensemble des cartes est sur la page carte mentale.
Maîtrisez-vous les fractions ?
Simplifiez 24/36.
24/36 = 2/3 (division par 12, le PGCD).
Calculez 1/4 + 2/3.
3/12 + 8/12 = 11/12.
Laquelle est la plus grande : 4/9 ou 4/7 ?
4/7 : même numérateur, le plus petit dénominateur donne la plus grande fraction.
Calculez 5/6 × 3/10.
15/60 = 1/4.
Calculez 3/8 ÷ 9/4.
3/8 × 4/9 = 12/72 = 1/6.
Combien font les 3/5 de 45 ?
45 ÷ 5 × 3 = 27.
Quel est l’inverse de 7 ?
1/7.
Écrivez 3/4 en pourcentage.
75 %.
