Première ligne de toute fiche de révision : le théorème de Pythagore s’applique uniquement aux triangles rectangles : si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC², où BC est l’hypoténuse, le côté opposé à l’angle droit. Avec AB = 6 cm et AC = 8 cm, on trouve BC² = 36 + 64 = 100, donc BC = 10 cm. Sa réciproque sert à l’inverse : prouver qu’un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs.
Que dit exactement le théorème de Pythagore, en une ligne de fiche ?
Pythagore : les trois énoncés
- Théorème : si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
- Réciproque : si dans un triangle ABC, où [BC] est le plus grand côté, on a BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en A.
- Contraposée : si dans un triangle ABC, où [BC] est le plus grand côté, BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle n’est pas rectangle.
Vocabulaire : l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est toujours le plus grand côté du triangle rectangle. Les deux autres côtés forment l’angle droit.
Quel énoncé utiliser ? On sait que le triangle est rectangle et on cherche une longueur : théorème. On connaît les trois longueurs et on se demande s’il est rectangle : réciproque ou contraposée.
Le théorème porte le nom de Pythagore de Samos, mathématicien grec du VIe siècle avant notre ère, mais la relation était utilisée bien avant : des tablettes babyloniennes d’environ 1800 avant notre ère contiennent déjà des triplets. Au collège, il est étudié en 4e et réutilisé tout le cycle 4 jusqu’au brevet.
Comment calculer l’hypoténuse avec Pythagore ?
La rédaction complète tient en quatre lignes, et chaque ligne rapporte des points au brevet.
Rédaction modèle 1 : calculer l’hypoténuse
RéviserFiche de révision théorème de Thalès : énoncé, réciproque, exemplesÉnoncé : ABC est rectangle en A, AB = 3 cm, AC = 5 cm. Calculer BC.
- Le triangle ABC est rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC².
- BC² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34.
- BC = √34 (BC est une longueur, donc positive).
- BC ≈ 5,8 cm (arrondi au dixième).
Comment calculer un côté de l’angle droit ?
C’est la situation où les élèves se trompent le plus : ils additionnent au lieu de soustraire. L’hypoténuse reste seule dans l’égalité, on isole ensuite le côté cherché.
Rédaction modèle 2 : calculer un côté de l’angle droit
Énoncé : DEF est rectangle en D, EF = 13 cm, DE = 5 cm. Calculer DF.
- Le triangle DEF est rectangle en D, donc d’après le théorème de Pythagore : EF² = DE² + DF².
- 13² = 5² + DF², soit 169 = 25 + DF².
- DF² = 169 − 25 = 144.
- DF = √144 = 12 cm.
Un réflexe qui évite bien des erreurs : vérifiez que votre résultat est plus petit que l’hypoténuse. Si vous trouvez DF = 13,9 cm, vous avez additionné.
Comment prouver qu’un triangle est rectangle (ou non) ?
Rédaction modèle 3 : réciproque et contraposée
Énoncé : RST a pour côtés RS = 7 cm, ST = 25 cm, RT = 24 cm. Est-il rectangle ?
- Le plus grand côté est [ST]. On calcule séparément : ST² = 25² = 625 et RS² + RT² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625.
- On constate que ST² = RS² + RT².
- D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RST est rectangle en R.
Si le calcul avait donné deux résultats différents, on aurait conclu avec la contraposée : « Donc le triangle n’est pas rectangle. »
Calculez toujours les deux membres séparément avant de comparer. Écrire directement « 25² = 7² + 24² » revient à affirmer ce que l’on veut démontrer, et le correcteur le sanctionne.
RéviserFiche de révision spé maths première : tout le programmeL’angle droit est en face du plus grand côté : ici, ST est opposé au sommet R, donc le triangle est rectangle en R. Beaucoup d’élèves se trompent de sommet.
Quels carrés et quels triplets connaître par cœur ?
Connaître les carrés jusqu’à 20 fait gagner du temps sans calculatrice et permet de repérer immédiatement un triangle rectangle.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
| n | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | 400 |
Triplets pythagoriciens
- 3, 4, 5 (et ses multiples : 6, 8, 10 ; 9, 12, 15 ; 30, 40, 50).
- 5, 12, 13.
- 8, 15, 17.
- 7, 24, 25.
- 20, 21, 29.
Un triangle de côtés 3 m, 4 m et 5 m est rectangle : c’est la « corde à 13 nœuds » des bâtisseurs, qui traçaient ainsi des angles droits sur le terrain.
Les carrés se révisent comme les tables : le module des tables de multiplication fait travailler les produits n × n.
Où Pythagore sert-il au brevet et dans la vie ?
- Diagonale d’un rectangle : longueur L, largeur l, diagonale √(L² + l²). Un écran de 48 cm sur 27 cm a une diagonale de √(2304 + 729) = √3033 ≈ 55 cm.
- Diagonale d’un carré de côté c : c√2. Un carré de 10 cm a une diagonale d’environ 14,1 cm.
- Hauteur d’un triangle équilatéral de côté c : c√3 / 2.
- Échelle contre un mur : une échelle de 5 m dont le pied est à 1,4 m du mur atteint une hauteur de √(25 − 1,96) = √23,04 = 4,8 m.
- Dans l’espace : diagonale d’un pavé de dimensions a, b, c : √(a² + b² + c²), en appliquant Pythagore deux fois.
Au brevet, Pythagore apparaît rarement seul : il prépare souvent un calcul de trigonométrie ou un Thalès dans la même figure. La fiche sur le théorème de Thalès est donc à réviser dans la foulée, et la fiche de maths pour le brevet les replace dans l’ensemble du programme.
Quelles erreurs font perdre des points sur Pythagore ?
- Additionner les longueurs au lieu des carrés : 3 + 4 ≠ 5, mais 3² + 4² = 5².
- Oublier la racine carrée : BC² = 34 ne signifie pas BC = 34.
- Mal placer l’hypoténuse : elle est toujours seule d’un côté de l’égalité.
- Appliquer le théorème à un triangle non rectangle : la première ligne de rédaction doit justifier l’angle droit.
- Confondre théorème et réciproque : on ne démontre pas qu’un triangle est rectangle avec le théorème direct.
- Arrondir trop tôt : gardez √34 jusqu’au bout, arrondissez à la dernière ligne.
Pour que les trois rédactions deviennent automatiques, refaites-les de mémoire à J+1, J+3 et J+7 ; les fiches de révision du brevet proposent le même rythme pour toutes les matières.
Triangle rectangle et longueur cherchée : théorème. Trois longueurs et angle droit en question : réciproque ou contraposée. L’hypoténuse reste toujours seule.
ABC est rectangle en B. Quelle égalité écrire ?
AC² = AB² + BC², car l’hypoténuse est [AC], le côté opposé à B.
Un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de 9 cm et 12 cm. Hypoténuse ?
√(81 + 144) = √225 = 15 cm.
Hypoténuse 17 cm, un côté de 8 cm. L’autre côté ?
√(289 − 64) = √225 = 15 cm.
Un triangle de côtés 6, 7 et 9 cm est-il rectangle ?
9² = 81 et 6² + 7² = 36 + 49 = 85. 81 ≠ 85 : d’après la contraposée, il n’est pas rectangle.
Quelle est la diagonale d’un carré de côté 5 cm ?
5√2 ≈ 7,1 cm.
Quand utilise-t-on la réciproque ?
Quand on connaît les trois longueurs et qu’on veut démontrer que le triangle est rectangle.
Citez deux triplets pythagoriciens autres que 3, 4, 5.
5, 12, 13 et 8, 15, 17 (ou 7, 24, 25).
