La spé maths de terminale se révise sur huit fiches : suites et récurrence, limites et continuité, convexité, logarithme népérien, primitives et intégrales, équations différentielles, dénombrement et probabilités, géométrie dans l’espace. Trois résultats reviennent dans presque tous les sujets : ln(ab) = ln a + ln b, la solution y = Ceax − b/a de y’ = ay + b et l’espérance np de la loi binomiale.
Quels chapitres réviser en priorité en spé maths terminale ?
Le programme officiel reprend l’architecture de première (algèbre, analyse, géométrie, probabilités, algorithmique) mais la moitié des notions sont nouvelles : la récurrence, le logarithme, l’intégrale, le dénombrement et l’espace. Ce sont elles qui font la différence. L’analyse pèse le plus lourd dans les sujets : une fonction avec exponentielle ou logarithme à étudier de bout en bout (limites, dérivée, variations, convexité, TVI, parfois intégrale) figure dans la quasi-totalité des épreuves écrites.
Mon ordre conseillé : fonction ln et exponentielle, suites, probabilités, espace, puis le reste. Un élève qui maîtrise parfaitement l’étude de fonction a déjà une grosse partie de la note. Pour la méthode générale des fiches, voyez la page sur les fiches de révision qui marchent.
Suites, récurrence et limites : ce qu’il faut savoir écrire
Suites et récurrence
- Récurrence : initialisation (P(n0) vraie), hérédité (si P(n) vraie alors P(n + 1) vraie), conclusion (P(n) vraie pour tout n ≥ n0).
- Limite de qn : +∞ si q > 1 ; 1 si q = 1 ; 0 si −1 < q < 1 ; pas de limite si q ≤ −1.
- Comparaison : si un ≥ vn et vn → +∞, alors un → +∞.
- Gendarmes : si vn ≤ un ≤ wn et vn, wn → ℓ, alors un → ℓ.
- Convergence monotone : croissante et majorée ⇒ convergente ; décroissante et minorée ⇒ convergente. Croissante non majorée ⇒ tend vers +∞.
- Si un+1 = f(un), f continue et un → ℓ, alors ℓ = f(ℓ).
Limites de fonctions et continuité
- Formes indéterminées : ∞ − ∞ ; 0 × ∞ ; ∞/∞ ; 0/0. On factorise par le terme dominant.
- Croissances comparées : en +∞, ex/xn → +∞ et xne−x → 0 ; ln x / x → 0. En 0+, x ln x → 0. En −∞, x ex → 0.
- Asymptotes : lim f = ℓ en ±∞ ⇒ asymptote horizontale y = ℓ ; lim f = ±∞ en a ⇒ asymptote verticale x = a.
- TVI : si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], pour tout k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = k a une unique solution dans [a ; b].
Au bac, la rédaction du TVI rapporte autant que le résultat. Citez les trois hypothèses (continue, strictement monotone, k entre les images) avant de conclure, puis encadrez la solution à la calculatrice.
Convexité et logarithme népérien : les règles de calcul en terminale
Convexité
- f convexe sur I ⇔ f’ croissante sur I ⇔ f » ≥ 0 sur I ⇔ courbe au-dessus de ses tangentes.
- f concave ⇔ f » ≤ 0 ⇔ courbe en dessous de ses tangentes.
- Point d’inflexion : la courbe traverse sa tangente ; f » s’annule en changeant de signe.
Logarithme népérien
- Défini sur ]0 ; +∞[ ; pour x > 0, y = ln x ⇔ x = ey. eln x = x et ln(ex) = x.
- ln 1 = 0 ; ln e = 1.
- ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(1/a) = −ln a ; ln(an) = n ln a ; ln √a = ½ ln a.
- (ln x)’ = 1/x ; (ln u)’ = u’/u pour u > 0.
- Strictement croissante ; ln x → −∞ en 0+ et → +∞ en +∞.
- Résoudre qn < k avec 0 < q < 1 : n ln q < ln k, donc n > ln k / ln q (le sens change car ln q < 0).
Fonctions sinus et cosinus
- Périodiques de période 2π ; cos est paire, sin est impaire.
- cos’ = −sin ; sin’ = cos ; [cos(ax + b)]’ = −a sin(ax + b) ; [sin(ax + b)]’ = a cos(ax + b).
Primitives, intégrales et équations différentielles : les formules exactes
Primitives usuelles
| Fonction | Une primitive |
|---|---|
| xn (n ≠ −1) | xn+1 / (n + 1) |
| 1/x (x > 0) | ln x |
| 1/x² | −1/x |
| ex | ex |
| u’ eu | eu |
| u’/u (u > 0) | ln u |
| u’ un (n ≠ −1) | un+1 / (n + 1) |
| u’ / √u (u > 0) | 2√u |
| cos x ; sin x | sin x ; −cos x |
Intégrales
- ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), où F est une primitive de f.
- Si f ≥ 0 sur [a ; b] : l’intégrale est l’aire sous la courbe, en unités d’aire.
- Linéarité, relation de Chasles, positivité : f ≤ g sur [a ; b] ⇒ ∫f ≤ ∫g.
- Valeur moyenne : μ = [1 / (b − a)] × ∫ab f(x) dx.
- Intégration par parties : ∫ab u v’ = [uv]ab − ∫ab u’ v.
- Aire entre deux courbes (f ≥ g) : ∫ab (f − g).
Équations différentielles
- y’ = ay : solutions y = C eax, C réel.
- y’ = ay + b (a ≠ 0) : solutions y = C eax − b/a. La constante −b/a est la solution constante.
- y’ = ay + f : solution = solution particulière + solution de y’ = ay.
- Une condition initiale y(x0) = y0 fixe C : la solution est alors unique.
Dénombrement et probabilités : quelles formules pour quelles situations ?
Dénombrement (E a n éléments)
| Situation | Nombre |
|---|---|
| k-uplets (ordre, répétition possible) | nk |
| k-uplets d’éléments distincts (arrangements) | n! / (n − k)! |
| Permutations de E | n! |
| Parties à k éléments (combinaisons, sans ordre) | C(n, k) = n! / [k!(n − k)!] |
| Nombre total de parties de E | 2n |
C(n, k) = C(n, n − k) ; relation de Pascal : C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k).
Loi binomiale et concentration
- X ~ B(n, p) : nombre de succès dans n répétitions indépendantes d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
- P(X = k) = C(n, k) pk (1 − p)n−k.
- E(X) = np ; V(X) = np(1 − p) ; σ = √(np(1 − p)).
- E(X + Y) = E(X) + E(Y) toujours ; V(X + Y) = V(X) + V(Y) si X et Y sont indépendantes.
- Bienaymé-Tchebychev : P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X) / δ².
- Moyenne Mn d’un échantillon de taille n : E(Mn) = E(X), V(Mn) = V(X)/n, et P(|Mn − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X) / (nδ²).
- Loi des grands nombres : Mn se concentre autour de E(X) quand n augmente.
Le mot qui trahit la loi binomiale dans un énoncé : « de manière indépendante », avec deux issues possibles. Justifiez toujours ces deux points avant d’écrire B(n, p).
Géométrie dans l’espace : droites, plans et orthogonalité
Espace
- Droite passant par A(xA ; yA ; zA) de vecteur directeur u(a ; b ; c) : x = xA + at, y = yA + bt, z = zA + ct, t réel.
- Plan de vecteur normal n(a ; b ; c) : ax + by + cz + d = 0.
- Produit scalaire en repère orthonormé : u · v = xx’ + yy’ + zz’ ; ‖u‖ = √(x² + y² + z²).
- Droite orthogonale à un plan ⇔ elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
- Vecteurs coplanaires : w = αu + βv. Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires.
- Projeté orthogonal H de M sur un plan : H est dans le plan et MH est colinéaire à n. La distance de M au plan vaut MH.
Comment organiser ses révisions de spé maths sur l’année de terminale ?
Huit fiches, huit mois de cours : la tentation est de tout relire en mai. Mauvais calcul. Les chapitres de septembre (suites, limites) sont réinvestis jusqu’en mars, et ceux qui ont été appris en retard ne tiennent pas sous la pression d’un sujet de quatre heures.
- Une fiche par chapitre, le jour où il se termine : formules sur le recto, une méthode type (TVI, récurrence, IPP) au verso.
- Relecture active à J+2 puis J+10 : cachez la fiche, réécrivez, comparez.
- Un sujet complet par mois à partir de janvier : chronométré, fiches fermées. Ce qui bloque retourne sur la fiche.
- Les quatre dernières semaines : uniquement des exercices, les fiches servent de correction.
Le planning de révision génère ce calendrier automatiquement. Si vous sortez de première avec des lacunes, reprenez d’abord les fiches de spé maths première : la dérivation et le second degré conditionnent tout le reste. Et pour comprendre pourquoi relire au bon moment compte plus que relire longtemps, lisez la page sur la courbe de l’oubli.
RéviserFiche de révision SES terminale : les 12 chapitres en fichesEn terminale, l’étude d’une fonction avec exponentielle ou logarithme est l’exercice le plus rentable : maîtrisez-la de bout en bout avant tout le reste.
Que vaut ln(8) en fonction de ln(2) ?
ln 8 = ln(2³) = 3 ln 2.
Quelles sont les solutions de y’ = 2y + 6 ?
y = C e2x − 6/2 = C e2x − 3, C réel.
Une primitive de 2x ex² ?
C’est u’eu avec u = x² : une primitive est ex².
Combien de mains de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes ?
C(32, 5) = 201 376.
X ~ B(20 ; 0,3). Espérance et variance ?
E(X) = 20 × 0,3 = 6 ; V(X) = 20 × 0,3 × 0,7 = 4,2.
Limite en +∞ de (x² + 1)/ex ?
0, par croissances comparées : l’exponentielle l’emporte sur toute puissance.
À quelle condition f est-elle convexe sur I ?
Si f » ≥ 0 sur I (ou f’ croissante sur I).
Un plan a pour équation 2x − y + z − 3 = 0. Un vecteur normal ?
n(2 ; −1 ; 1).
