Un nombre relatif est un nombre muni d’un signe : positif (+5) ou négatif (−5), zéro étant à la fois positif et négatif. Deux règles suffisent pour presque tous les calculs : soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé, et le produit de deux nombres de même signe est positif, celui de deux nombres de signes contraires est négatif. La carte mentale range le reste en cinq branches.
Quel vocabulaire mettre sur la carte des nombres relatifs ?
Au centre : une droite graduée de −5 à +5, avec le zéro bien visible. La première branche porte les mots, sans lesquels les règles de calcul ne se comprennent pas.
Branche 1 : vocabulaire
- Signe : + ou −. On peut omettre le + : (+7) s’écrit 7.
- Distance à zéro : le nombre sans son signe. La distance à zéro de −8 est 8.
- Opposés : deux nombres qui ont la même distance à zéro et des signes contraires. L’opposé de −3 est 3. Leur somme vaut 0.
- Abscisse : le nombre qui repère un point sur une droite graduée. A(−2).
- Coordonnées : dans un repère du plan, abscisse puis ordonnée. B(3 ; −1).
Comment comparer deux nombres relatifs ?
Trois cas, une seule phrase à retenir pour le plus piégeux : entre deux négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.
| Cas | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Signes contraires | le positif est le plus grand | −12 < 3 |
| Deux positifs | le plus grand a la plus grande distance à zéro | 2,5 < 4 |
| Deux négatifs | le plus grand a la plus petite distance à zéro | −7 < −2 |
Pour le vérifier sans règle, pensez au thermomètre : −7 °C est plus froid que −2 °C. Sur la droite graduée, plus un nombre est à droite, plus il est grand.
Comment additionner des nombres relatifs ?
- Même signe on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun : (−4) + (−6) = −10.
- Signes contraires on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro : (−7) + (+3) = −4 ; (+9) + (−2) = +7.
- Nombres opposés la somme est nulle : (−5) + (+5) = 0.
Comment soustraire un nombre relatif ?
La soustraction n’a pas de règle propre : on la transforme en addition. Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé.
Branche soustraction
- (+3) − (+8) = (+3) + (−8) = −5
- (−5) − (−8) = (−5) + (+8) = +3
- (−2) − (+6) = (−2) + (−6) = −8
- Suite de calculs : on transforme toutes les soustractions, puis on regroupe positifs et négatifs. 5 − 8 + 3 − 4 = (5 + 3) + (−8 − 4) = 8 − 12 = −4.
C’est la branche où les élèves de 5e perdent le plus de points : ils changent le signe du premier nombre au lieu du second. Seul le nombre qui suit le « moins » change de signe.
Quelle est la règle des signes pour multiplier et diviser ?
La multiplication et la division des relatifs arrivent en 4e. On calcule avec les distances à zéro, puis on applique le signe.
| Signes | Résultat | Exemple |
|---|---|---|
| + par + | + | (+3) × (+4) = +12 |
| − par − | + | (−3) × (−4) = +12 |
| + par − | − | (+3) × (−4) = −12 |
| − par + | − | (−12) ÷ (+4) = −3 |
Pour un produit de plusieurs facteurs, comptez les facteurs négatifs : nombre pair, résultat positif ; nombre impair, résultat négatif. (−1) × (−2) × (−3) = −6, trois facteurs négatifs.
Même logique pour les puissances : (−2)³ = −8 et (−2)² = 4. Mais attention à l’écriture : −2² = −4, car le carré ne porte que sur le 2. La parenthèse fait toute la différence.
Cartes mentalesCarte mentale Seconde Guerre mondiale : phases, génocides, FranceAdditionner : même signe, on ajoute ; signes contraires, on soustrait. Soustraire : on ajoute l’opposé. Multiplier : même signe, positif ; signes contraires, négatif.
Comment apprendre la carte et vérifier ses calculs ?
Dessinez la carte en deux temps : les trois premières branches en 5e, la règle des signes en 4e. Vérifiez chaque résultat par un ordre de grandeur et par le signe avant le calcul : « deux négatifs multipliés, ce sera positif ». Les fractions suivent exactement les mêmes règles de signe ; la carte mentale des fractions se colle à côté. Pour la préparation du brevet, la fiche de révision de maths regroupe les calculs à connaître. La façon de tracer une carte lisible est expliquée dans comment faire une carte mentale, et la page carte mentale recense toutes les cartes.
Savez-vous calculer avec les relatifs ?
Rangez dans l’ordre croissant : −3 ; 2 ; −8 ; 0.
−8 < −3 < 0 < 2.
Calculez (−9) + (+4).
−5.
Calculez (+2) − (−7).
(+2) + (+7) = +9.
Calculez (−6) − (+3).
(−6) + (−3) = −9.
Calculez (−5) × (−7).
+35.
Calculez (−36) ÷ (+9).
−4.
Signe de (−1) × (−2) × (−3) × (−4) ?
Positif : quatre facteurs négatifs, nombre pair. Le produit vaut 24.
Que vaut −3² ?
−9 : le carré porte sur 3 seulement. (−3)² vaudrait 9.
